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% Title page
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\title{数学分析第一学期复习}
\subtitle{}
\author{}
% \email{584400763@qq.com}
%if using linebreak "\\", then also put a "\\" at text end
\institute{\\ 高数帮帮站 $\cdot$ 期末辅导会 \\}
% \inframeauthor{X.Qiu}
% \inframeinstitute{}
\date{2018 年 1 月 4 日}

%-------------------------------------------------------------------------
% Begin
%-------------------------------------------------------------------------
\begin{document}

\maketitle

\begin{frame}[fragile]
    \frametitle{实数连续统}
    \begin{block}{大佬们}
        Dedekind, Cauchy, Cantor, Weierstrass, Borel, Lebesgue ...
    \end{block}

    \vspace{2em}

    \begin{block}{实数系基本定理}
        \vspace{-1em}
        \begin{itemize}
            \item 确界存在定理
            \item 单调有界定理
            \item Cauchy收敛准则
            \item 致密性定理(Bolzano-Weierstrass)
            \item 闭区间套定理(Cauchy-Cantor)
            \item 有限覆盖定理(Heine-Borel)
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{实数连续统}
    \begin{block}{例题}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                若自然数$n$不是完全平方数, 则
                $\sqrt n\in\symbf R\backslash\symbf{Q}$.\\
                {\kaishu
                反证法: $\sqrt n=p/q\Rightarrow n=
                p^2/q^2\Rightarrow q=1\Rightarrow$矛盾!}
            \vspace{2em}
            \item
                证明有理数是可列集, 实数不是可列集.\\
                {\kaishu
                （陈纪修《数学分析$\cdot$上册》P8, P61）\\
                对于实数集, 可采用类似Weierstrass大佬的方法（拆区间）}
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{一些不等式}
        \begin{itemize}
            \vspace{-1em}
            \item
                Bernoulli不等式 \quad
                $(1+h)^n\geq 1+nh, h>-1, n\in\symbf N_+$.

            \item
                平均值不等式 \quad
                $\displaystyle \underbrace{\frac 1n \sum_{i=1}^n a_i}
                _{\mathrm{AM}}\geq \underbrace{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}
                _{\mathrm{GM}}\geq \underbrace{n\cdot
                \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)^{-1}}_{\mathrm{HM}},
                a_i > 0$.

            \item
                Cauchy不等式 \quad
                $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2
                \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2$.

            \item
                绝对值不等式 \quad
                $|a+b|\leq |a|+|b|, |a-b|\geq |a|-|b|$.

            \item
                其他 \quad
                $\displaystyle \frac{x}{1+x}\leq \ln(1+x) \leq x,
                \frac 2\pi x\leq \sin x\leq x$.
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{一些重要的极限}
        \begin{itemize}
            \vspace{-1em}
            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin \pi/n}{\pi/n}=1$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=e$.
                其中$e$为自然对数的底.

            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\frac 1i -\ln n
                =\gamma$. 其中$\gamma$为Euler-Mascheroni常数. （$\gamma
                \approx 0.5772156649$）\\
                或写为: $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac 1i
                = \ln n + \gamma + o(1)$.
                \vspace{0.3em}
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{两个重要的定理}
        \begin{itemize}
            \vspace{-1em}
            \item
                Cauchy命题 \quad
                若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = l$,
                则它的前$n$项算术平均值也收敛于$l$:
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n x_i=l$.
                其中$l$可以是常数， 可以是定向无穷大.

            \item
                Stolz定理 \quad （下述$l$性质同上述命题中$l$）
                \begin{itemize}
                    \footnotesize
                    \item
                        $\dfrac 00$型: $\{a_n\}, \{b_n\}$均为无穷小量,
                        其中$\{a_n\}$严格单调递减,\\
                        若$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}
                        {a_{n+1}-a_n}=l$, 则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                        \frac{b_n}{a_n}=l$.

                    \item
                        $\dfrac *\infty$型: 若$\{a_n\}$为严格单调递增的无穷大量,
                        若$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}
                        {a_{n+1}-a_n}=l$, 则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                        \frac{b_n}{a_n}=l$.
                \end{itemize}
                \vspace{0.5em}
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{例题}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                证明$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$.(定义、AM-GM)

            \item
                求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$.（夹逼、Stolz）

            \item
                证明$\displaystyle S_n=1+\frac 12+\frac 13+\cdots+\frac 1n$发散.
                （$S_{2^n}\geq 1+n/2$）

            \item
                证明$\displaystyle a_n=\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}$收敛.
                （单调有界、Euler常数）

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\underbrace{
                \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt 2}}}_{n ~ \mathrm{times}}$.
                \vspace{1em}
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{连续函数}
    \begin{block}{例题}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}
                \left(1+\frac{x}{x^2+2x-4}\right)^{1/\sin(1/x)}$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\left(
                \frac \pi 4-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$.

            \item
                设函数$f$在$x=0$处连续, 对每一个$x\in\symbf R$成立
                $f(x)=f(2x)$.

                证明: $f$为常值函数.

            \item
                设$x_1, x_2, x_3>0$, 且$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$,
                证明方程
                \vspace{-0.5em}
                \[
                    \displaystyle \frac{x_1}{x - \lambda_1}+
                    \vspace{-1em}
                    \frac{x_2}{x - \lambda_2} + \frac{x_3}{x - \lambda_3} = 0
                \]

                在区间$(\lambda_1, \lambda_2)$和$(\lambda_2, \lambda_3)$
                内恰好各有一个根.
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{例题}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                陈纪修《数学分析$\cdot$上册》P139.（基本的求导公式）

            \item
                $\displaystyle \frac{\dd}{\dd x}e^x(\sin x+x\cos x)$.
                （$e^x$的特殊性）

            \item
                若$y=x^{xy}$, 求$\dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}$.（“对数求导法”）

            \item
                摆线的参数方程为: $\displaystyle \begin{cases}
                    x=t(1-\sin t)&\\
                    y=t\cos t&
                \end{cases}$, 求$\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}$.

            \item
                求$n$阶微分$\displaystyle \dd ^n(x^2e^{-2x})$.
                （Leibniz公式）

            \item
                设 $f(x)=(\arcsin x)^2$, 求 $f^{(n)}(0)$.
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{中值定理}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2
                \left(\arctan \frac an-\arctan \frac{a}{n+1}\right)$.

            \item
                设函数$f(x)$在$[0, 1]$, 在$(0,1)$上可导, 且$f(0)=f(1)=0,
                f(1/2)=1$. 证明:
                \begin{itemize}
                    \footnotesize
                    \item
                        存在$\xi\in(1/2,1)$, 使得$f(\xi)=\xi$.

                    \item
                        对于任意实数$\lambda$, 必存在$\eta\in(0,\xi)$, 使得
                        \[
                            f'(\eta)-\lambda[f(\eta)-\eta]=1.
                        \]
                \end{itemize}

            \item
                设$f$在$[a,b]$上连续($ab>0$), 在$(a,b)$上可导,
                证明: 存在$\xi\in(a,b)$, 使得$\displaystyle
                    \frac{1}{b-a}\begin{vmatrix}
                        a & b \\ f(a) & f(b)
                    \end{vmatrix}=\xi f'(\xi)-f(\xi)$.
        \end{enumerate}
        \vspace{1em}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{Taylor公式（Maclaurin）}
        \begin{itemize}
            \vspace{-1em}
            \item
                $\displaystyle e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

            \item
                $\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}
                -\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

            \item
                $\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}
                -\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

            \item
                {\footnotesize $\displaystyle (1+x)^\alpha = 1+ \alpha x+
                \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+
                \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$}

            \item
                $\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}
                -\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{例题}
        \begin{enumerate}
            \vspace{-1em}
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$,
                $\displaystyle \lim_{x\to\pi}(\pi-x)\tan \frac x2$
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}
                \left((x^3-x^2+\frac x2)e^{1/x}-\sqrt{x^6-1}\right)$, \
                $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(\sin x) - x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5}$
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(
                x-x^2\ln\big(1+\frac 1x\big)\right)$, \
                $\displaystyle \lim_{x\to 0}
                \frac 1x \left(\frac 1x-\cot x\right)$
            \item
                设 $f$ 在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 上有 $n$ 阶导数, 且
                \[
                    f''(x_0) = f'''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0
                \]
                但 $f^{(n)}(x_0)\neq 0$, $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 处连续,
                且当 $0 < |h| < \delta$ 时,
                \[
                    f(x_0+h)-f(x_0) = h f'(x_0+\theta h) \quad (0 < \theta < 1)
                \]
                证明: $\displaystyle \lim_{h\to 0}\theta = \frac{1}{n^{1/(n-1)}}$.
        \end{enumerate}
        \vspace{1em}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{还有一点点...}
    \begin{block}{微分的逆运算（不定积分）}
        \begin{multicols}{2}
            \begin{enumerate}
                \vspace{-1em}
                \item $\displaystyle \int \frac{x^5}{1+x}\, \mathrm dx$
                \item $\displaystyle \int \frac{x^{2n-1}}{1+x}\, \mathrm dx, n\in \symbf{N}_+$
                \item $\displaystyle \int \frac{x^4}{1+x^2}\, \mathrm dx$
                \item $\displaystyle \int \frac{x^{2n}}{1+x^2}\, \mathrm dx, n\in \symbf{N}_+$
                \item $\displaystyle \int \cos^2ax\cdot \cos^2bx \, \mathrm dx$
                \item $\displaystyle \int \sin^32x\cdot \cos^23x \, \mathrm dx$
            \end{enumerate}
        \end{multicols}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{如果感兴趣的话...}
    \begin{block}{书籍推荐}
        \begin{itemize}
            \vspace{-1em}
            \item 教材
                \begin{itemize}
                    \footnotesize
                    \item 《数学分析教程》（常庚哲, 史济怀）
                    \item 《数学分析》（徐森林, 薛春华）
                    \item 《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨）
                \end{itemize}
            \item 练习
                \begin{itemize}
                    \footnotesize
                    \item 《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》（沐定夷, 谢惠民）
                    \item 《数学分析习题课讲义》（谢惠民）
                    \item 《数学分析习题演练》（周民强）
                    \item 《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文）
                \end{itemize}
            \item 拓展
                \begin{itemize}
                    \footnotesize
                    \item 《数学分析札记》（朱时）
                    \item 《数学分析的基本概念与方法》（强文久）
                    \item 《数学分析问题研究与评注》（汪林）
                \end{itemize}
        \end{itemize}
        \vspace{0.5em}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{thanksframe}
    \frametitle{好运}
\end{thanksframe}


\end{document}
